VECTORES

El estudio de vectores hace parte de la matemática básica que debe conocer todo técnico o ingeniero como herramienta útil en el diseño. Los fenómenos físicos se caracterizan por tener representaciones en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Las magnitudes escalares son aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.

 

Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc. En estos casos sólo importa su valor.

 

Magnitudes vectoriales o vectores son por ejemplo, la fuerza, posición, velocidad, aceleración, etc. En este caso la magnitud se aplica en una dirección determinada con un sentido dado. No es lo mismo desplazamiento de 10 km hacia el noreste que desplazamiento de estos mismos 10 km (magnitud) hacia el sureste pues se llega a puntos finales distintos. 


DEFINICIÓN

 

Un vector es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto sentido. Se representa por   , siendo los extremos los puntos A y B

 

Los puntos  en  los  que  empieza  y  termina  un  vector  se  llaman origen y extremo, respectivamente y su magnitud es la longitud del segmento que lo define.  La dirección la define el ángulo con respecto al eje positivo de las x´s y el sentido lo da la flecha del vector. Si los vectores tienen igual dirección son vectores paralelos.

 

SUMA DE VECTORES

 

LEY DEL PARALELOGRAMO

 

Es el método utilizado cuando los vectores dados son perpendiculares entre sí. 

Ejemplo:

 

Sea la magnitud del vector  = 3 y del vector  = 7,

 

entonces la magnitud del vector resultante es :

 

 

 Para encontrar la dirección del vector se utiliza la función trigonométrica tangente que como se recuerda es igual a :   opuesto / adyacente

 

tan α = A / B = 3 / 7 = 0.4285, entonces,

α = arctan 0.4285 = 23.2º

 

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

 

Cuando los vectores no son ortogonales (perpendiculares) cadaa uno de ellos se descompone en componentes x y componentes y.

 

Ejemplo:

 

Aplicando Scilab:
//ángulos en grados
teta=60;
alfa=30;
//ángulos en radianes
tetar=teta*%pi/180;
alfar=alfa*%pi/180;
//valores de los vectores
A=12; B=8;
//componentes de A
Ax=A*cos(alfar);
Ay=A*sin(alfar);
//componentes de B
Bx=B*cos(tetar);
By=B*sin(tetar);
//componentes del vector resultante
Cx=Ax+Bx;
Cy=Ay+By;
//magnitud del vector resultante
C=sqrt(Cx^2+Cy^2)
//ángulo del vector resultante
fi=atan(Cy/Cx);
//ángulo en grados
figr=fi*180/%pi
Respuesta: C=19.346237,   φ = 41.932463

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores, se llama producto escalar al número obtenido como producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo que forman:

 

                     

Para el ejemplo anterior el producto punto escalar es igual a:

 

12(8) cos(60-30) = 96 cos 30º = 96(0.866) = 83.19


PRODUCTO VECTORIAL

 

El producto vectorial de dos vectores, es otro vector perpendicular al plano formado por los vectores cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes multiplicado por el seno del ángulo que lo forman : 

 

  

                              

 Para el ejemplo anterior el producto vectorial tiene una magnitud de:

 

C = 12(8) sen(60-30) = 96 sen 30º = 96(0.5) = 48

 


  

  NÚMEROS COMPLEJOS


  DEFINICIÓN

 

Hay ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución con números reales como por ejemplo, la ecuación,

 

   x2 + 4 x + 5 = 0

 

Su solución es:

 

       

 


 Como no se puede sacar raíz cuadrada a números negativos, su solución a este problema es considerar números imaginarios los se notan con la letra i cuyo cuadrado es igual a – 1, o sea que,

 

                     


Un número complejo es un número compuesto por una parte real y una parte imaginaria, por ejemplo, 3 + 4i

 

Continuando con el ejercicio de la ecuación cuadrática, se tiene:


 

Aplicando Scilab:

  

-->// plinomio de la ecuación
 
-->p=[1 4 5];
 
-->r=roots(p)
 r  =
 
  - 2. + i   
  - 2. – i


SUMA Y PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS

 

Dados dos números complejos a + b i  y c + d i  se definen su suma y su producto como sigue:

 

                       (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

 

                       (a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i

 

El producto puede hacerse operando con  como si fuese un número real y teniendo en cuenta que 2 = -1.

 

Ejemplo: 

 

a)      Sumar los siguientes números complejos:

 

(3 + 4i ) + (5 – 2i)

 se suman los números reales por aparte y luego los imaginarios,

 

(3 + 5) + (4i – 2i) = 8 + 2i

 

Con Scilab:

 

-->z1=3+4*%i;

 

-->z2=5-2*%i;

 

-->z=z1+z2

 z  =

 

    8. + 2.i

 

b)        Multiplicar los anteriores números complejos:

 

(3 + 4i  ) x (5 – 2i)

 

3(5) + 3(-2i) + 4i(5) + 4i(-2i) = 15 – 6i + 20i -8(i 2) =

 

= 15 – 6i + 20i -8(-1) = 15 -6i +20i + 8

 

sumando reales e imaginarios como en a):

 

= (15 + 8) + (-6i + 20i) = 23 + 14i

 

Con Scilab:

 

-->z1=3+4*%i;

 

-->z2=5-2*%i;

 

-->z=z1*z2

 z  =

 

    23. + 14.i


CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO

 

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene al cambiar de signo su parte imaginaria.

 

Si un número complejo es igual a a + bi  su complejo conjugado es igual a a - bi .

 

El producto de dos números complejos conjugados es igual  a .

 

(a + b i) (a – b i) = a 2 + b 2

                                  

 

Prueba: (a + b i) ( a- b i) = a 2 – a b i – a b i + b 2 = a 2 + b 2

 

Ejemplo:  (2 + 3i) ( 2 – 3i) = 4 + 9 = 13

 

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

 

Para dividir dos números complejos  se multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

 

Ejemplo:

 

Dividir los números complejos:  3 + 4i    entre  5 – 2i

 

   

 

 

      = 0.2413+0.8965i    

 

 

 Con Scilab:

 

-->z1=3+4*%i;

 

-->z2=5-2*%i;

 

-->z=z1/z2     // z  = 0.2413793 + 0.8965517i