3. VECTORES Y MATRICES


Las cantidades físicas se dimensionan como escalares que corresponden a medidas que solamente tienen magnitud como por ejemplo la temperatura y como vectores que son cantidades que se miden mediante su magnitud y dirección como una fuerza, velocidad y muchas otras.

Vector fila

Es un vector cuyos elementos están arreglados en forma de fila. Sus elementos se escriben entre corchetes separados por un espacio. Por ejemplo:

-->A= [1 3 2 6 -1]

 A  =

    1.    3.    2.    6.  - 1.

Vector columna

Sus elementos está arreglados en forma de columna y se escriben separándose por un punto y coma (;). Por ejemplo:

-->A= [1; 3; 2; 6; -1]

 A  =

    1.

    3.

    2.

    6.

  - 1.     

Cuando un vector tiene incrementos iguales, no es necesario escribir todos sus elementos, basta con colocar el elemento inicial, el intervalo y el elemento final separados por dos puntos. Por ejemplo:

B = [1.0  1.5  2.0  2.5  3.0  3.5  4.0] basta con escribir B = [1.0:0.5:4.0]

En Scilab,

-->B=[1.0:0.5:4.0]

 B  =

    1.    1.5    2.    2.5    3.    3.5    4.

OPERACIONES CON VECTORES

Suma y resta

A = [ 2 1 3 4]    B = [-1 3 2 2] Hallar A+B;  A-B

Con Scilab,

--> C = A+B

 C =

    1.    4.    5.    6.

--> D = A-B

 D  =

    3.  - 2.    1.    2.

Multiplicación por un escalar

A = [ 2 3 1 5]    Hallar el vector 5A

Con Scilab,

--> A = [2 3 1 5];

--> 5*A

 ans  =

    10.    15.    5.    25.

 

MATRICES

Una matriz es un arreglo m x n de elementos que tiene m filas y n columnas. Por ejemplo una matriz 3 x 4 puede ser la siguiente:

           

Esta matriz se escribe en Scilab, de la siguiente forma:

--> [-1 2 5 3;  2 1 0 2; 2 -2 3 -3]

 ans  =

  - 1.    2.    5.    3.

    2.    1.    0.    2.

    2.  - 2.    3.  - 3

Los elementos de la fila se separan con espacios o comas y las filas entre sí se separan con el punto y coma ;

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta

Hallar las matrices resultantes de S = A+B       R=A-B. Las matrices deben tener las mismas dimensiones

Usando Scilab,

-->A=[2 1 -1; 0 2 3; 1 -1 2];

-->B=[1 3 0; 2 1 3; 2 3 1];

-->S=A+B

 S  =

    3.    4.  - 1.

    2.    3.    6.

    3.    2.    3.

-->R=A-B

 R  =

    1.  - 2.  - 1.

  - 2.    1.    0.

  - 1.  - 4.    1.

Multiplicación por un escalar

Sea M=[ 1 2 1; 2 -1 3; 4 1 0]  Hallar la matriz  N = 5M

Usando Scilab,

-->M=[1 2 1; 2 -1 3; 4 1 0];

-->N=5*M

 N  =

    5.     10.    5.

    10.  - 5.     15.

    20.    5.     0.   

Multiplicación de matrices

El número de columnas de una matriz debe ser igual al número de filas de la otra.

Usando Scilab,

-->A=[1 2 2; 2 3 1];

-->B=[2 1; 3 1; 2 1];

-->M=A*B

 M  =

    12.    5.

    15.    6.  

MATRIZ TRANSPUESTA

Se obtiene al cambiar filas por columnas y columnas por filas.

Usando Scilab,

-->A=[2 1 -1; 0 2 3; 1 -1 2]

 A  =

    2.    1.  - 1.

    0.    2.    3.

    1.  - 1.    2.

-->A'

 ans  =

    2.    0.    1.

    1.    2.  - 1.

  - 1.    3.    2. 

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 

Usando Scilab,

-->A=[2 1 -1; 0 2 3; 1 -1 2]

 A  =

    2.    1.  - 1.

    0.    2.    3.

    1.  - 1.    2.

-->det(A)

 ans  =

    19.   

MATRIZ INVERSA

Usando Scilab,

-->A=[2 1 -1; 0 2 3; 1 -1 2]

 A  =

    2.    1.  - 1.

    0.    2.    3.

    1.  - 1.    2.

-->inv(A)

 ans  =

    0.3684211  - 0.0526316    0.2631579

    0.1578947    0.2631579  - 0.3157895

  - 0.1052632    0.1578947    0.2105263


SOLUCIÓN DE ECUACIONES

Encontrar la solución al sistema de ecuaciones dado por:

2x + y – 2z -10 = 0

3x +2y + 2z - 1 = 0                            

5x + 4y +3z – 4 = 0

Se resuelve con el comando  [x] = linsolve(A,b)

Donde A es la matriz de los coeficientes de las variables y b los términos independientes.

Usando Scilab,

-->A=[2 1 -2; 3 2 2;5 4 3]

 A  =

    2.    1.  - 2.

    3.    2.    2.

    5.    4.    3.

-->b=[-10;-1;-4]

 b  =

  - 10.

  - 1.

  - 4.

-->[x]=linsolve(A,b)

 x  =

    1.

    2.

  - 3.        

La solución es x = 1, y = 2 , z = - 3