3. TRABAJO Y ENERGÍA

TRABAJO
 
TRABAJO DE UNA FUERZA

El trabajo se define como el producto punto entre la fuerza aplicada y el desplazamiento de la partícula. El trabajo es una cantidad escalar no un vector como la velocidad, fuerza, etc.

                
 Caso especial: Nótese que si la fuerza aplicada está en dirección al movimiento ( α = 0º, cos 0º = 1), entonces, la ecuación se reduce a:
                               
La unidad de medida del trabajo es el Joule si la fuerza se da en Newton y el desplazamiento en metros.

TRABAJO DE UN  PESO

El  trabajo de un peso se obtiene sustituyendo F por mg y ∆x por ∆y (desplazamiento vertical).


                                    

El trabajo que se realiza para subir el bloque tiene signo negativo puesto que la dirección del desplazamiento y de la fuerza (peso) tienen sentido contrario.

U = - m g∆y = - m g(y2 – y)


TRABAJO DE UN RESORTE

Cuando se aplica una fuerza a un resorte para estirarlo un ∆x se produce una reacción dentro de él de una fuerza igual y de sentido contrario que hace que el trabajo realizado por el resorte sea negativo. Esta fuerza es igual a :

                                                            F = - k x , 

donde  k es la constante de elasticidad del resorte.
                   
 
 







Para un pequeño desplazamiento, el trabajo es igual a:

ENERGÍA

ENERGÍA CINÉTICA


Se sabe que el trabajo realizado por una fuerza es igual a :

 Multiplicando por  dx / d, se tiene.



A la expresión  ½ m v2 se le conoce con el nombre de Energía Cinética y es directamente proporcional a la masa y al cuadrado de su velocidad. Se simboliza con K.

K =  ½ m v2

Se puede concluir que el trabajo realizado por una fuerza es igual  al cambio de energía cinética que es el enunciado del Principio de Trabajo y Energía. Esto es,

K21 =  ½ m v2 -  ½ m v1 2

La unidad de medida de la energía es la misma unidad de la del trabajo, o sea, el joule.

ENERGÍA POTENCIAL

La energía de un cuerpo que depende de la posición se denomina Energía Potencial. Se nota con la letra V. El trabajo realizado por la gravedad es igual al cambio de energía potencial.

(a)  Para el caso de un cuerpo cuya fuerza que produce el movimiento es la gravedad:

V21 = mgy- mgy2

(b) Para el caso de un resorte:

V21 = ½ k x 2 -  ½  k x 12

EL PÉNDULO SIMPLE

Está Formado por una cuerda de longitud  l  en cuyo extremo se coloca un cuerpo de peso w. El peso se deja en libertad desde la posición horizontal inicial oscilando en un plano vertical.

                      

                                                                        

Aplicación del principio del trabajo y de la energía:
U = ∆V =∆K     mgy1 – mgy2 = ½ m v2 -  ½ m v1 2
Nótese que : mgy1 +  ½ m v1 2 = mgy2 + ½ m v2 2
La energía total en cualquier punto se conserva. Este es el principio de conservación de la energía.

Para el punto 2 :  y2 = 0,  v2 = v
Para el punto 1 :  y1 = l,  v1 =0   (posición inicial en reposo)
Reemplazando estos valores, se tiene : m g l  ½ m v 2  

                                                         

Esto quiere decir que la energía potencial de la partícula en el punto 1 se convierte en energía cinética en el punto 2.

 

POTENCIA Y EFICIENCIA

 

POTENCIA

 

Potencia  es la rapidez como se hace trabajo. Esto quiere decir que una máquina que realiza un trabajo en una pequeña cantidad de tiempo tiene una gran potencia. Por ejemplo, un motor de 4 hp realiza el mismo trabajo que uno de 2 hp  pero en la mitad del tiempo o en el mismo tiempo hace el doble del trabajo.

                       
 

Potencia = Fuerza * Velocidad

La unidad de medida en el sistema internacional es el vatio en potencia eléctrica y el caballo fuerza horse power – hp en potencia mecánica.

1 hp = 746 w

EFICIENCIA


Debido al rozamiento interno que tiene una máquina la potencia de salida es menor que la potencia de entrada. La razón entre estas dos potencias se denomina eficiencia  y se nota con la letra griega  η.

                                       
 EJEMPLO :

Un  automóvil de 2000 kg se mueve hacia abajo sobre una pendiente de 10º a una velocidad de 80 km/hr. De repente el vehículo frena y se detiene en 150 m. Calcular el coeficiente de rozamiento entre las llantas y el pavimento.

Solución:

Principio del Trabajo y la energía: El trabajo realizado por la fuerza es igual al cambio de energía cinética del auto. Entonces,

U21 =F ∆x = ½ m v2 2 , debido a que la velocidad final (v1 = 0) es cero,

Por tanto, 
v2 =  80 km/hr = 80 km/hr (1000 m/km) (1 hr/3600 sg) = 22.22 m/sg
F (150m) =½ (2000 kg) (22.22 m/sg)2 = 493728.4 kg.m2/sg2

despejando:
F  = (493728.4 kg.m2/sg2) / (150 m) = 3291.52 kg m/sg2 = 3291.52 Nt



 

 

 

 



Del diagrama de cuerpo libre se tiene que:

F = mgsen10º - f = wsen10º - μ wcos10º = 3291.52 Nt    (1)

Se sabe que el peso de un cuerpo es igual a  w = m g
w =2000 kg (9.8 m/sg2) = 19600 Nt

reemplazando en (1)
F = 3291.52  = 19600 (0.1736) – μ (19600)(0.9848),
3291.52 = 3403.50 – 19302.23 μ  μ =(3403.50 – 3291.52)/ 19302.23
 μ =0.0058

Respuesta: El coeficiente de rozamiento es igual a 0.058
 
EJEMPLO:

Dos bloques están unidos por una cuerda. Si el sistema parte del reposo, determinar la velocidad del bloque A después de que se ha desplazado 1.4 m. El bloque A es de 1 kg, el bloque B de 1.4 kg y el coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano es de 0.3







 


                                                                                  

 T : Tensión de la cuerda
wA : Peso del bloque A
wB : Peso del bloque B

(a) Para el bloque A:  (N = wA)
Aplicando el principio del trabajo y la energía,
U = (T – f)∆x = (T – μ N) ∆x = (T -  μ wA) ∆x,  reemplazando,
U = (T – 0.3 mA g)(1.4 m) = (T – 1 kg. 9.8 m/sg2)(1.4 m)
U = 1.4 T – 13.72 = ½ mA v2 = ½ (1 kg) v2
U = 1.4T – 13.72 = 0.5 v2             (1)

(b) Para el bloque B:
Note que para el bloque A,     
N = wA   porque el bloque no se mueve en forma vertical, pero par el bloque B, 
T ≠ wB  porque en esa dirección hay movimiento acelerado debido a la gravedad.

Aplicando el principio de trabajo y energía :
U = F∆y = ( wB - T) ∆y =  ( mB g - T)(1.4 m) = ( 1.4 kg. 9.8 m/sg2- T )(1.4 m)
U =  19.21 – 1.4 T = ½ mB v2 = ½ (1.4 kg) v2
U =  19.21 – 1.4 T = 0.7 v2             (2)

Despejando  de (2):      1.4 T = 19.21 - 0.7 v2  ⇒ T = 13.72 - 0.5 v2

Reemplazando este valor en (1) :
1.4(13.72 - 0.5 v) – 13.72 = 0.5 v2            19.21 - 0.7 v2 – 13.72 = 0.5 v2          
1.2  v2 = 5.49 ⇒  v2 = 4.575      ⇒  v = 2.14 m/sg

Respuesta: La velocidad de los bloques después de recorrer 1.4 m es de 2.14 m/seg


EJEMPLO:

Un bloque de 10 kg se suelta hacia abajo sobre un plano inclinado  30º  ( μ = 0.3) en donde lo espera un resorte con constante elástica de 200 Nt/m. Calcular la velocidad con que llega al resorte después de recorrer 80 cm y la compresión máxima del resorte.

                        
Solución:

(a)  El trabajo realizado por la fuerza superficial del plano (m g senθ – f) es igual al cambio de energía cinética del bloque. Entonces,
(m g senθ – f)∆x = ½ m v2⇒ (m g senθ –μN)∆x = ½ m v2
(m g senθ –μmg cosθ)∆x = ½ m v2 

Datos conocidos : m = 10 kg,  μ = 0.3,  θ = 30º,   ∆x = 80 cm = 0.8 m

Como todos los datos están en el sistema internacional, entonces,
[(10)(9.8)sen30º – 0.3(10)(9.8)cos30º] (0.8) = ½ (10) v2
(49 – 25.46)(0.8) = 5 v2 ⇒ v2 = 3.77  v = 1.94 m/sg

(b) El cambio de energía del bloque es igual al trabajo realizado por la fuerza superficial del plano.
 (m g senθ – f )∆x = ½ k ∆x2 - ½ m v2 
 (m g senθ – μ m g cosθ  )∆x = ½ k ∆x2 - ½ m v2
 [(10)(9.8) sen30 – 0.3(10)(9.8) cos30 ]∆x = ½ (400) ∆x2 - ½ (10)(3.77)
 [49 – 25.46] ∆x = 200 ∆x2 -18.85    ⇒200 ∆x2 - 23.54∆x - 18.85 =0
Recordando que la solución de una ecuación de segundo grado es:


Respuesta: La velocidad con que llega el bloque al resorte es de 1.94 m/sg            y el resorte se comprime 37 cm

 

EJEMPLO:

Un collar de 10 kg se desliza ( sin rozamiento) en una varilla vertical . El resorte tiene una longitud natural de 20 cm y una constante de 500 Nt/m . Si el collar parte del reposo en posición horizontal, determinar su velocidad después de haber recorrido 40 cm hacia abajo.


                               
Solución:  

Se aplica el principio de conservación de energía.

(a)  Punto P1: x1 = 30 cm – 20 cm = 10 cm = 0.1 m;     y1 = 0;  v1 = 0
Energía potencial elástica: V1e = ½ k x12 = ½ (500)(0.1)2 = (250)(0.01) = 2,5 joules
Energía potencial gravitatoria: V1g = mgy1 = 0
Energía cinética : K1 =  ½ m v12  = 0

(b) Punto P2x2 = 50 cm – 20 cm = 30 cm = 0.3 m;     y2 =- 40 cm = - 0.4 m;  v2 = v
Energía potencial elástica: V2e= ½ k x22 = ½ (500)(0.3)2 = (250)(0.09) = 22,5 joules
Energía potencial gravitatoria: V2g = mgy2 = (10)(9.8)(-0.4) = - 39.2 joules
Energía cinética : K2 =  ½ m v22 = ½ (10) v= 5  v2

(c) Conservación de energía:
     V1e + V1g + K1 = V2e + V2g + K2
    2.5 + 0 +0 = 22.5 - 39.2 + 5v2 ⇒ v2 = 3.84  ⇒ v = 1.96 m/sg

Respuesta: La velocidad del bloque en el punto2 después de haber bajado 40 cm es de 1.96 m/sg

IMPULSO  Y  MOMENTUM.

Por segunda ley de Newton se conoce que :  
F = m a = m (dv / dt), despejando,
F dt = m dv, o sea que, integrando:


El impulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento. Si no hay fuerza externa aplicada el momentum o cantidad de movimiento se conserva.

Ejemplo:

Se lanza sobre un cargador de 80 kg una maleta de 40 kg con una velocidad de  5 m /sg. Si el cargador puede deslizarse libremente e inicialmente está en reposo, calcular la velocidad del cargador después que la maleta se detiene dentro el cargador.

Solución:

Variables conocidas: mA = 40 kg, mB = 80 kg, vA1 = 5 m/sg, vB1= 0
                                     vA2 =  vB2 = v = ?

No hay fuerzas externas entonces la cantidad de movimiento se conserva:
mvA1 + mvB1 = mvA2 + mvB2 = (mv + mv) =( m + mB) v

Reemplazando,
(40)(5) + (80)(0) = (80 + 40) v      v = 200 / 120 = 1.67 m/sg

Respuesta : La velocidad del cargador cuando la maleta se detiene es igual a 1.67 m/sg

 Ejemplo:

Un cañón de 2 toneladas dispara una bomba de 10 kg  con una velocidad de 500 m/sg y una inclinación de 30º. Calcular la velocidad de retroceso del cañón.

                     
(a) Movimiento de la bomba:
Si la bomba parte del reposo y adquiere una velocidad es porque hubo una fuerza externa  o sea un impulso. Su ecuación es por tanto,
mb vb1 +F∆t = mb vb2
(10)(0) + +F∆t =(10)500)     F∆t = 5000 kg. m/sg

(b) Movimiento del cañón:
El disparo de la bomba hace retroceder al cañón , se debe calcular esta velocidad. El cañón inicialmente está en reposo,
mc vc1 + F∆t cos 30º = mc vc2       mc = 2 ton = 2000 kg
(2000)(0) + (5000)(0.866) = (2000)vc2    vc2 =4330 / 2000 = 2.17 m/sg

Respuesta: La velocidad de retroceso del cañón es igual a 2.17 m/sg

EJEMPLO:

Dos bolas idénticas chocan con las velocidades vA =  9 m/sg  y   vB = 12 m/sg en las direcciones que se indican en la figura. Si el coeficiente de restitución  e = 0.9, encontrar la velocidad  de las bolas después del choque.

                        
Solución :

 Las bolas al chocar sufren una deformación que se caracteriza por su coeficiente de restitución e. Si el choque es completamente inelástico  e = 0 y si el choque es completamente elástico e = 1.
 
(a) Velocidades antes del choque:
 
vAx = vA cos 30º = (9 m/sg)(0.866) = 7.79 m/sg
vAy = vA sen 30º = (9 m/sg)(0.5) = 4.5 m/sg
 
vBx = -  vB cos 60º = - (12 m/sg)(0.5) = - 6.0  m/sg
vBy = vB sen 60º = (12 m/sg)(0.866) = 10.39 m/sg
 
(b) Velocidades después del choque:
 
En sentido vertical no se ejercen fuerzas en las bolas por tanto,  la velocidad después del choque es igual al velocidad antes del choque.
 
vAy = v’Ay        ⇒   v’Ay = 4.5 m/sg
vBy = v’By        ⇒  v’By = 10.39 m/sg
 
En sentido horizontal, si existen fuerzas que en el tiempo de contacto producen un impulso interno en cada una de las bolas. Las ecuaciones para este caso serían:
 
Conservación del momentum antes y después  del choque,
 
m vAx + m  vBx  m v’Ax + m v’Bx  , simplificando  m
 
 vAx +  vBx =  v’Ax +  v’Bx     , reemplazando
 
7.79 – 6.0 = =  v’Ax +  v’Bx        v’Ax +  v’Bx   = 1.79 m/sg   (1)
 
Velocidades relativas antes y después del choque:
 
 v’Bx  -   v’Ax  = e (vAx -  vBx)    , reemplazando
 
 v’Bx  -   v’Ax  = 0.9 (7.79 + 6.0)          v’Bx -  v’Ax   = 12.41 m/sg  (2)
 
sumando (1) con (2) se tiene:
 2 v’Bx  = 1.79 + 12.41  ⇒    v’Bx  = 7.1 m/sg

Reemplazando este valor en (1):
 
  v’Ax =  1.79  -  v’Bx = 1.79 -7.1    ⇒    v’Ax =  - 5.31 m/sg
 
Velocidades después del choque:


θ'A = arctan(  v’Ay /  v’Ax) = arctan(4.5/- 5.31)  = arctan(- 0.8474)
⇒  θ' = - 40.3º
θ'B = arctan(  v’By /  v’Bx) = arctan(10.39/7.1)  = arctan(1.4634)
⇒  θ' = 55.6º

            


NOTA: Los ejemplos se han tomado como referencia del libro: Mecánica vectorial para ingenieros DINÁMICA del autor Beer & Johnston.