GEOMETRÍA ANALÍTICA

 

 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

 Las coordenadas del punto medio, M, de un segmento cuyos extremos son P (x0, y0) y Q (x1, y1) vienen dadas por:

Ejemplo:

 

Calcular el punto medio del segmento dado por los puntos  P(1,2) y Q(5, 8).

 

El punto medio M es:

   (x0 + x1) /2 = (1 + 5) /2 =3

   (y0 + y1) /2 = (2 + 8) /2 =5, entonces, el punto medio es:  M(3,5)

PENDIENTE DE UNA RECTA

Se llama pendiente de una recta a la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas medido siempre en sentido contrario al de las agujas de un reloj.

 

La pendiente de la recta es la tangente del ángulo tan (ángulo).

 

Al ángulo  se le llama inclinación de la recta.

 

Si se conocen dos puntos de la recta,

 

P1(x1,y1) ;  P2(x2,y2)

 

la pendiente es igual a :

 

m = tan α = (y2-y1) / (x2-x1)

 

Ejemplo:

 

Sea P1(1,2) y P2(4,6) dos puntos de una recta, encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación.

 

m = tana = (6 -2) / ( 2-1) = 4/3

a = arctan(4/3) = 53º


       


ECUACIÓN DE UNA  DE RECTA

 

Caso 1: Se conoce un punto y la pendiente. La ecuación de una recta que pasa por el punto P (x0, y0) y tiene como pendiente m  es:

 

y - y0 = (x - x0)

 

Ejemplo:

 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y tiene  una inclinación de 45º.

La pendiente de la recta es:

 m = tan 45º = 1.0 

Las coordenadas del punto son:

y0 = -3,  x0 = 2, entonces,

la ecuación de la recta es:

 y - y0 = m (x - x0)

y - (-3) = 1.0(x - 2)

   y + 3 = x – 2, despejando y,

   y = x - 2 - 3 , entonces, y = x - 1

Caso 2: Se conocen dos puntos. La recta pasa por los puntos                 

 

P1(x1, y1)            y         P2(x2, y2).   La ecuación es:

 

y - y1 = m( x- x1)  donde ,



PUNTO DE INTERSECCIÓN ENTRE  DOS RECTAS

 

Si dos rectas   se cortan en un punto, este punto es la solución de  las ecuaciones de las rectas.

 

Ejemplo:

 

Hallar el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son:

 

        2x + 3y = 8        y       

          x + 2y = 5

 

Solución:

 

Se resuelve el sistema de ecuaciones usando Scilab:

Aplicando Scilab:

 

Igualar las ecuaciones a 0,

 

2x + 3y – 8 = 0        y       

 

  x + 2y – 5 = 0

 

-->A=[2 3;1 2];

 

-->b=[-8;-5];

 

-->[x]=linsolve(A,b)

 x  =

 

    1. 

    2.  


Respuesta : Las rectas se interceptan en el punto (1,2)


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

 

La distancia entre los puntos P(x0,y0) y Q(x1,y1) viene expresada por la fórmula:


 

LUGARES GEOMÉTRICOS

 

Se llama lugar geométrico a cualquier conjunto de puntos que vienen caracterizados por una cierta propiedad.

 

Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a distancia fija r  de un punto señalado, O, es la circunferencia centrada en O y con radio r .

 

El lugar geométrico de los puntos del plano que divide u ángulo en dos partes iguales es su bisectriz.

 

El lugar geométrico de los puntos en el espacio que se encuentran a distancia fija de una recta, es un conjunto de puntos  formado un cilindro.

 

En cualquiera de los casos de los citados anteriormente y muchos otros, el lugar geométrico se define mediante una ecuación que relaciona los puntos (x, y) en el plano o los puntos (x, y, z) en el espacio.

 

Ejemplo.

 

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A y B  ( mediatriz )   A(3, 4) y B(-3, 6).

 

Solución:

 

Se elige un punto arbitrario X(x, y).

 

La distancia entre el punto X y el punto A es igual a:

Elevando al cuadrado se elimina el radical, por tanto,                     

 

(x – 3) 2 + (y – 4) 2  =   (x – (-3) ) 2 + (y – 6) 2

(x – 3) 2 + (y – 4) 2  =   (x + 3 ) 2 + (y – 6) 2

 

Resolviendo los cuadrados, recuérdese que:

 

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,                (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

 

 x2 – 6x + 9 +  y 2 - 8y + 16 = x2 + 6x + 9 + y2 - 12y + 36

 

entonces : -12x + 4y - 20 = 0

 

La ecuación de la mediatriz es - 12x + 4y - 20 = 0.

 

Ejemplo.

 

Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en O(2, 4) y de radio 6.

 

Solución:

 

Se toma un punto genérico X(x, y)

 

La distancia entre el punto X y el punto O es igual a:


La distancia entre el punto X y el punto O es igual a:


 d(X, O) =      (x – 2 ) 2 + (y – 4) 2  = radio = 6

 

La ecuación de la circunferencia es, elevando al cuadrado:                              

 

(x – 2) 2 + (y – 4) 2  = 36

                                                                     

En general, la ecuación de una  circunferencia que tiene su origen en el punto O(a, b) y radio = r   es:                  

 

(x – a) 2 + (y – b) 2  = r 2