2. DINÁMICA


  CONCEPTOS BÁSICOS
 
  ROZAMIENTO

La fuerza de rozamiento  que se produce entre dos superficies a) se opone al movimiento b) es proporcional a la fuerza normal (perpendicular) que ejerce el plano sobre el bloque y c) no depende del área de contacto sino del tipo de superficie.


 f : Fuerza de rozamiento
W : Peso = mg                                                      
N : Fuerza normal       N = W = m g
m = Masa del cuerpo

FUERZA NORMAL

Para el caso anterior en el cual el plano es horizontal, la fuerza normal que es aquella que ejerce el plano sobre el bloque era igual al peso del cuerpo. En el caso de un plano inclinado es diferente.

 


                                                  




 
Como se observa en la figura la fuerza normal o simplemente normal es ahora igual a :            

                                                  N = m g cosθ
 
FUERZA DE ROZAMIENTO

Al aplicar una fuerza a un cuerpo ante de ponerse en movimiento existe una fuerza que se opone a el y es la fuerza de rozamiento estático. Cuando se pone en movimiento sigue existiendo el rozamiento pero ahora se llama rozamiento cinético.

μ: coeficiente de rozamiento cinético
μ: coeficiente de rozamiento estático
f: fuerza de rozamiento cinético
f: fuerza de  rozamiento estático

Los coeficiente de rozamiento dependen del tipo de material de las superficies en contacto y su fuerza de rozamiento es igual a su coeficiente multiplicado por la fuerza normal.

                                                     f = μ N = μ m g  (Plano horizontal)
                                                     f = μ N = μ m g cos θ  (Plano inclinado)
                      

  TABLA DE COEFICIENTES DINÁMICOS





DINÁMICA EN UN PLANO HORIZONTAL

                                                              
 








Primera Ley de Newton: La primera ley o Ley de la Inercia dice que un cuerpo libre está en reposo o con velocidad constante ( a = 0) si no hay fuerzas aplicadas sobre él.
Segunda Ley de Newton: La fuerza resultante de las  fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración.

                                                            ∑ F = m a

Tercera Ley de Newton: A toda fuerza aplicada acción le corresponde una reacción. Para el caso del bloque horizontal, la acción puede ser el peso que es la fuerza aplicada por el bloque a la superficie y la reacción es la fuerza aplicada por la superficie al bloque, o sea la normal.
Aplicando esta leyes al sistema de la figura:

N = m g    (tercera ley)
F – f = m a   ⇒ F – μ N = m a    ⇒  F – μ m g = m a

Donde F es la fuerza externa aplicada y  m es la masa del bloque.

UnidadesLa unidad de la masa es el kilogramo en el sistema internacional de medidas.  Un kilogramo es igual a 1000gramos

                            [masa] =1 Kg = 1000 gr

La unidad de fuerza es el newton en honor a este científico definido por el sistema internacional de medidas.
                                    
                          [Fuerza] = 1 Nt = 1 kg m / sg2
F  es la fuerza externa aplicada al bloque    
f  es la fuerza de rozamiento entre las superficies en contacto
θ  es el ángulo del plano inclinado

Suponga que el eje de las x’s es paralelo al plano inclinado hacia abajo y el eje de las y’s es perpendicular al plano, esto es, en dirección de la fuerza normal N. Las ecuaciones dinámicas quedan de la siguiente manera:

Para el eje x,
∑ Fx = F + m g senθ – f = m ax   (1)

Para el eje y,
∑ Fy =N - m g cosθ  = m ay   (2)

Como es  obvio el bloque solamente se mueve en la dirección de eje x, por tanto,
                   ax = a,    ay = 0
Tomando la ecuación (1) y conociendo que   f = μN   y   N = m g cosθ :

  F + m g senθ –μ N = m a,    (3)

De la ecuación (2) :
N - m g cosθ  = 0,   ⇒  N = m g cosθ

Reemplazando en (3) :
F + m g senθ –μ m g cosθ  = m a


EJEMPLO 1:

Un bloque de madera de 3 Kg está sobre una mesa de madera. Si al bloque se le aplica una fuerza de 10 Nt encontrar la aceleración del bloque. El coeficiente de rozamiento es de 0.2

Solución:

Datos conocidos:   m = 3 kg,  F =10 Nt ,   μk = 0.2
Diagrama de cuerpo libre :


 


 
 
 


Ecuaciones dinámicas:

∑ F = F– f = m a,   ⇒ F – μN = m a,          N = mg
F – μkm g = m a, reemplazando tenemos:
10 Nt – 0.2(3 kg)(9.8 m/sg2) = (3 kg) a,
10 kg m /sg2 – 5.88 kg m /sg2 =(3 kg ) a, eliminando kg,
4.12 m/sg2 = 3 a     a = (4.12 /3) m/sg2 = 1.37 m/sg2

Respuesta: La aceleración que obtiene el bloque es de 1.37 m/sg2

DINÁMICA EN UN PLANO INCLINADO


                             















F  es la fuerza externa aplicada al bloque    
f  es la fuerza de rozamiento entre las superficies en contacto
θ  es el ángulo del plano inclinado

Suponga que el eje de las x’s es paralelo al plano inclinado hacia abajo y el eje de las y’s es perpendicular al plano, esto es, en dirección de la fuerza normal N. Las ecuaciones dinámicas quedan de la siguiente manera:

Para el eje x,
∑ Fx = F + m g senθ – f = m ax   (1)

Para el eje y,
∑ Fy =N - m g cosθ  = m ay   (2)

Como es  obvio el bloque solamente se mueve en la dirección de eje x, por tanto,
                   ax = a,    ay = 0
Tomando la ecuación (1) y conociendo que   f = μN   y   N = m g cosθ :

  F + m g senθ –μ N = m a,    (3)

De la ecuación (2) :
N - m g cosθ  = 0,   ⇒  N = m g cosθ

Reemplazando en (3) :
F + m g senθ –μ m g cosθ  = m a

EJEMPLO 2:

Un bloque de madera  de 2 kg desliza sobre un plano inclinado de 45º también de madera con μ = 0.2. Sin aplicar fuerza externa al bloque encontrar la velocidad  del bloque cuando ha recorrido 50 cm partiendo del reposo.
Diagrama de cuerpo libre:


 



 Solución:

Valores conocidos:  F = 0 ,  m = 2 kg,   θ = 45º,  μ = 0.2,  v0 = 0
Ecuaciones dinámicas:
F + m g senθ – f = m a    0 +(2 kg)(9.8 m/sg2)sen 45º - f = (2 kg) a,    (1)

Paso a:  Encontrar la fuerza de fricción:
Conociendo que,    f = μ N = μ (m g cos θ) = 0.2(2 kg)(9.8 m/sg2)cos 45º = 2.77 Nt
La fuerza de fricción es igual a   f = 2.77 Nt

Paso bEncontrar la aceleración:
Reemplazando este valor en (1) :
0 +(2 kg)(9.8 m/sg2)sen 45º -2.77 kg m/sg2  = (2 kg) a
11.09 m/sg2 = 2a    a =5.55 m/sg2
La aceleración que adquiere el bloque es de   a = 5.55 m/sg2
Paso c: Encontrar la velocidad    v0 = 0,  x = 50 cm = 0.5 m
v2 = v02 + 2 a x     v2 = 0 + 2(5.55 m/sg2)(0.5 m) = 5.55 m2/sg2,
sacando raíz cuadrada : v = 2.36 m/sg

Respuesta: La velocidad de llegada del bloque después de recorrer 50 cm es de 2.36 m/sg



DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
 
Ya se conoce que cuando un cuerpo gira en moviendo circular con velocidad constante, se presenta una aceleración dirigida hacia el centro cuya magnitud es igual a :



 Esto quiere decir que se presenta una fuerza dirigida al centro que la llamaremos fuerza centrípeta cuyo valor es igual a:

 


La reacción a la fuerza centrípeta se llama fuerza centrífuga.



 EJEMPLO 3:

Un objeto 100 gramos está atado a una cuerda y gira en movimiento circular a una velocidad constante de 50 rpm . Si la cuerda tiene una longitud de 80 cm determine la velocidad tangencial con que gira el objeto y la tensión de la cuerda.

Solución:

La tensión que nos pide es la fuerza con que la masa tensiona la cuerda, está dirigida hacia fuera y corresponde a la fuerza centrífuga.

Se conoce:   ω = 50 rpm,  m = 100 gr = 0.1 kg,   r = 80 cm = 0.80 m
 ω = 50 rpm = 50 rev/min = 50 (6.28 rad/rev)(1 min/60 sg) = 5.23 rad/sg
  v = ω r = (5.23 rad/sg)(0.80 m)  ,    v = 4.18 m/sg

Conocida la velocidad, se calculará la fuerza centrífuga:
Fc = m v2 / r = (0.1 kg)(4.18 m/sg)2/ (0.80 m),  Fc = 2.18 Nt

Respuesta : La velocidad conque gira el objeto es de 4.18 m/sg y la tensión en la cuerda es de 2.18 newton.

NOTA: Los ejemplos se han tomado como referencia del libro: Mecánica vectorial para ingenieros DINÁMICA del autor Beer & Johnston.