DERIVADAS

 

La  derivada de una función y=f(x) con respecto a x, es igual a la variación infinitesimal de la función con respecto a x.

Si y=f(x), entonces,

DERIVADA DE UNA CONSTANTE

 

La derivada de una constante es cero. f(x)=c, entonces f’(x)=0

Ejemplo:

Hallar la derivada de y=f(x)=5

Si f(x) es una constante entonces, f(x+∆x)=f(x) = 5, por tanto

f(x+∆x)-f(x)=0

DERIVADA DE UNA POTENCIA

La derivada de una potencia f(x)=xn es igual a f’(x)=nxn-1

Ejemplo:

Hallar la derivada de y=f(x)=x5

f’(x)=5x5-1 = 5x4

Ejemplo:

Hallar la derivada de f(x)=3x4

f’(x)=3(4x4-1)=3(4x3)=12x3

Ejemplo:

Hallar la derivada de y =f(x)=2x-2

f’(x)=2(-2x -2-1)=2(-2x-3)= -4x-3= -4/x3

  Ejemplo:

Hallar la derivada de y=f(x)=3x4+5x3-2x2-6x+2

f(‘(x)=3(4x3)+5(3x2)-2(2x)-6+0 = 12x3+15x2-4x-6

DERIVADA DE UN PRODUCTO

La derivada de un producto de funciones f(x)*g(x)es igual a la derivada del primero f”(x) por el segundo g(x) más el primero f(x) por la derivada del segundo g’(x)

 

Ejemplo:

y=(2x2-3x)(x3-2x2+3)

f(x)=2x2-3x , entonces, f’(x)=4x-3

g(x)=x3-2x2+3, entonces, g’(x)=3x2-4x+0=3x2-4x

y’= (4x-3)( x3-2x2+3)+( 2x2-3x)( 3x2-4x)

simplificando:

y’=10x4-28x3+18x2+12x-9


DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada de un cociente f(x)/g(x) es igual a:

Aplicando Scilab:

//variable simbólica x

x=poly(0,'x')

// ejemplo

y=x^5;

derivat(y)

//y'=5x^4

// ejemplo

y=3*x^4

derivat(y)

//y'=12x^3

// ejemplo

y=2*x^-2;

D=derivat(y)

simp(D)

//D=-4/x^3

// ejemplo

y=3/x^3;

D=derivat(y)

simp(D)

//D=-9/x^4

// ejemplo

y=3*x^4+5*x^3-2*x^2-6*x+2;

D=derivat(y)

simp(D)

//y'=-6-4x+15x^2+12x^3

// ejemplo

y=(2*x^2-3*x)*(x^3-2*x^2+3);

D=derivat(y)

simp(D)

//y'=-9+12x+18x^2-28x^3+10x^4

// ejemplo

y=(2*x^3+2*x)/(3*x^2-2);

D=derivat(y)

simp(D)

//y’=(-4-18x^2+6x^4) / (4-12x^2+9x^4)


DERIVACIÓN EN CADENA

Derivación en cadena. Si y=f(u),  u=g(x), entonces, la derivada de y con respecto a x es igual a:

Aplicando Scilab,

x=poly(0,'x')

y=(x^3-2*x^2-4)^4;

D=derivat(y)

simp(D)


PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN

La pendiente de una función en un punto es la derivada en ese punto.

Ejemplo:

Hallar la pendiente de la función y=2x2 en el punto x=3. Hacer las gráficas.

Para x=3, entonces, y=2(3)2 = 18 el punto es P(3,18)

La pendiente es   m=y’=4x = 4(3)=12

Gráficamente la pendiente es la tangente de la recta que pasa por ese punto, su función se obtiene de:

y-y1=m(x-x1), donde x1=3, y1=18

y-18=12(x-3), entonces, y=12x-36+18,  y=12x-18

Por Scilab,

// cálculo de la pendiente en x=3

function y=f(x)

y=2*x^2;

endfunction

x=3;

derivative(f,x)

//Respuesta: m=12

// gráfica de la parábola y=2x2 y de la recta y1=12x-18

x=[-5:0.1:5];

y=2*x^2;

y1=12*x-18;

plot2d(x,[y' y1'],[2,3],leg="y1=12x-18@y=2x^2",rect=[-5 0 5 50])

xgrid

xstring(3,18,["P(3,18)"])

       


DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Una función es implícita cuando para encontrar su y=f(x) se tiene que despejar de la ecuación, por ejemplo:

2x2 - 3y = 4 es una función implícita. Su valor es igual a

2x2-4 = 3y, o sea, y=f(x)=(1/3)(2x2-4)

Ejemplo:

Para la siguiente ecuación: y3 – 2y2 + 4x = x2 – 2, hallar la derivada y’= f’(x)

Derivando la expresión, se tiene,

3y2 y’ – 4y y’ + 4 = 2x – 0,   factorizando y’

y’ (3y2 – 4y) = 2x – 4, despejando

PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN

Para encontrar los puntos críticos de una función f(x) se realiza su correspondiente derivación f’(x) y se iguala a cero. Los valores de x que cumplen con esta solución son los puntos críticos.

Ejemplo:

Sea  f(x) = - x4 +2x2 +12, su derivada es,

f’(x) = - 4x3 + 4x, igualando a cero,  - 4x3 + 4x = 0,  factorizando,

-4x(x2 – 1) = 0, los valores para los cuales se cumple, son

x = 0,   x = 1,   x = -1

Estos son los puntos críticos, que tienen su derivada igual a cero, o sea, su pendiente = 0 (recta horizontal en el punto)

 

MÁXIMO, MÍNIMO E INFLEXIÓN

 

Un punto crítico puede ser un valor máximo de la función, un valor mínimo o ni lo uno ni lo otro que se conoce como punto de inflexión.

Resolver este problema implica calcular la segunda derivada de la función, esto es, la derivada de la primera derivada y considerar lo siguiente:

Si f’’(x) > 0 estamos en un punto mínimo

Si f’’(x) < 0 estamos en un punto máximo y

Si f’’(x) = 0 es un punto de inflexión

Ejemplo:

Continuando con el ejemplo anterior,

Primera derivada:   f’(x) = -4x3 +4x

Segunda derivada f’’(x) = -12x2 +4

Reemplazando los valores de los puntos críticos,

Para x = 0, f’’(0)= -12(0)2 +4 = 4 > 0 es un punto mínimo

Para x = 1, f’’(1)= -12(1)2 +4 = -8 < 0 es un máximo

Para x = -1, f’’(-1)= -12(-1)2 +4 = -8 es un mínimo

Programa en Scilab:

// cálculo de máximo y mínimos

// variable simbólica x

x=poly(0,'x')

fx=-x^4+2*x^2+12;

// primera derivada

df=derivat(fx)

// df=-4x^3+4x

// cálculo de puntos críticos

p=[-4 0 4 0];

r=roots(p)

//puntos críticos=0 -1 1

//cálculo de la segunda derivada

d2f=derivat(dy)

//d2f=-12x^2+4

//cálculos de d2y en los puntos críticos

x=0;

d2f0=-12*x^2+4

x=1;

d2f1=-12*x^2+4

x=-1;

d2fm1=-12*x^2+4

//d2f(0)=4, d2f(1)=-8, d2f(-1)=-8

//gráfica de la función

x=[-3:0.1:3];

fx=-x^4+2*x^2+12;

plot2d(x,fx',5,rect=[-3 0 3 20])

xgrid

           

FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

 

La derivada con respecto a x de una función logaritmo natural denotada como f(x)= ln(x), está dada por:

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

a)    Ln(a * b) = ln(a) + ln(b)

b)    Ln(a / b) = ln(a) - ln(b)

c)    Ln(a n) = n * ln(a)

Ejemplo:

Hallar la derivada de:

FUNCIÓN EXPONENCIAL

 

La función exponencial es la inversa del logaritmo natural. Se nota como exp

Aplicando Scilab:

//definición de la función

function y=f(x)

  y=exp(sqrt(x^2-1));

endfunction

//cálculo de la derivada en x=2

df=derivative(f,2)

// df = 6.527

 

 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las fórmulas para el cálculo de las derivadas de las funciones trigonométricas son:

sen(x)

 cos(x)

sen u

 cos u Dx u

cos(x)

-sen(x)

cos u

-sen u Dx u

tan(x)

 sec2(x)

tan u

 sec2 u Dx u

cot(x)

-csc2(x)

cot u

-csc2 u Dx u

sec(x)

 sec(x)tan(x)

sec u

 sec u tan u Dx u

csc(x)

-csc(x)cot(x)

csc u

-csc u cot u Dx u


Por Scilab:

//definición de la función

function y=f(x)

  y=cos(x)/(1+sin(x));

endfunction

//pasar ángulo a radianes

x=30*%pi/180;

//calcular la derivada

dy=derivative(f,x)

// dy = 0.667